Una población normal con desviación estándar conocida

Se desea contrastar con un nivel de significancia del 5% la hipótesis de que la estatura media de los hombres de 18 o más años de un país es igual a 175, contra la alternativa que es menor que 175. Suponiendo que la desviación estándar es de 4.5.

Asumiremos que los datos tienen una distribución normal

# Cargamos el paquete
library(BSDA)

# Creamos nuestros datos
muestra <- c(167,167,168,168,168,169,171,172,173,175,175,175,177,182)

z.test(x = muestra,
       alternative = "less", 
       mu = 175,
       sigma.x = sd(muestra), 
       conf.level = 0.95)

## 
##  One-sample z-Test
## 
## data:  muestra
## z = -2.5652, p-value = 0.005156
## alternative hypothesis: true mean is less than 175
## 95 percent confidence interval:
##        NA 173.8981
## sample estimates:
## mean of x 
##  171.9286

Así, de acuerdo a nuestros resultados podemos rechazar Ho, ya que existe suficiente evidencia de que la estatura media de los hombres en ese país es menor que 175.

Dos poblaciones normales con varianzas conocidas

Un dueño de una fábrica tiene un pedido muy grande y para llevarlo a cabo necesita conocer cuál de las dos máquinas para realizar el proceso trabaja con mayor velocidad, el intuye que la maquina 2 es más efectiva y para ello hace una prueba, toman el tiempo de fabricación en minutos de 10 productos en cada máquina. ¿Es posible que la máquina 2 tenga un mejor tiempo de producción que la máquina 1 usando un nivel de significancia de 0.05?

Asumiremos que los datos tienen una distribución normal

Hipótesis:

• Ho: μ1 - μ2 = 0
• Ha: μ2 > μ1

maquina_1 <- c(14,13,15,14,17,16,15,16,13,17)
maquina_2 <- c(16,15,14,17,12,17,15,16,15,14)

z.test(x = maquina_1,
       y = maquina_2,
       alternative = "greater",
       mu = 0,
       sigma.x = sd(maquina_1), # sd() función para calcular desviación estándar
       sigma.y = sd(maquina_2),
       conf.level = 0.95)

## 
##  Two-sample z-Test
## 
## data:  maquina_1 and maquina_2
## z = -0.14834, p-value = 0.559
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.208837        NA
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      15.0      15.1

Como podemos observar en nuestros resultados, nuestra hipótesis nula fue rechazada, en su lugar nuestra hipótesis alternativa es aceptada, en conclusión, podemos decir que existe evidencia que la máquina 2 es más rápida que la máquina 1.

Test T de student para una muestra

Permite comprobar si es posible aceptar que la media de la población es un valor determinado. Se toma una muestra y el Test permite evaluar si es razonable mantener la Hipótesis nula de que la media es tal valor.

Se trata de un test paramétrico; o sea, parte de la suposición de que la variable analizada en el conjunto de la población sigue una variabilidad, una distribución como la de la campana de Gauss. Por lo tanto, podemos pensar que la distribución normal es un buen modelo de esa población.

Para este ejemplo utilizaremos la variable largo del sépalo (sepal.lenght) de la especie I. setosa de la base Iris, asumiendo que cumple con los criterios establecidos para este tipo de test, como lo vimos en nuestro anterior POST

Así, asumiremos que un investigador propone que a partir de sus observaciones considera que la longitud del sépalo de I. setosa es de 5.3cm

# Filtamos la información para nuestro ejercicio
datos <- iris[iris$Species == "setosa", ]$Sepal.Length

t.test(datos, 
       alternative = "two.sided",
       mu = 5.3, 
       conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  datos
## t = -5.8977, df = 49, p-value = 3.363e-07
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 5.3
## 95 percent confidence interval:
##  4.905824 5.106176
## sample estimates:
## mean of x 
##     5.006

Por tanto, el resultado nos presenta que la media teórica no corresponde a los datos que se estudiaron. El valor de la media con un intervalo de confianza del 95% situa a la media entre los valores de 4.905824 y 5.106176, con una media aritmética de 5.006, por lo cual la propuesta del investigador es inválida.

Test T de student para dos muestras de medias poblacionales independientes

Para realizar este tipo de análisis las observaciones tienen que ser independientes unas de las otras. Para ello el muestreo debe ser aleatorio y el tamaño de la muestra inferior al 10% de la población.

Los pasos a seguir para realizar un t-test de medias independientes son:

1. Establecer las hipótesis

Hipótesis nula (Ho): por lo general es la hipótesis escéptica, la que considera que no hay diferencia o cambio. Suele contener en su definición el símbolo =. En el caso de comparar dos medias independientes la hipótesis nula considera que μ1 = μ2.

Hipótesis alternativa (Ha): considera que el valor real de la media poblacional es mayor, menor o distinto del valor que establece la Ho. Suele contener los símbolos >, <, ≠. En el caso de comparar dos medias independientes la hipótesis alternativa considera que μ1 ≠ μ2.

2. Calcular el estadístico (parámetro estimado)

El estadístico es el valor que se calcula a partir de la muestra y que se quiere extrapolar a la población de origen. En este caso es la diferencia de las medias muestrales (x̄1 - x̄2).

3. Determinar el tipo de test, una o dos colas

Los test de hipótesis pueden ser de una cola o de dos colas. Si la hipótesis alternativa emplea “>” o “<” se trata de un test de una cola, en el que solo se analizan desviaciones en un sentido. Si la hipótesis alternativa es del tipo “diferente de” se trata de un test de dos colas, en el que se analizan posibles desviaciones en las dos direcciones. Solo se emplean test de una cola cuando se sabe con seguridad que las desviaciones de interés son en un sentido y únicamente si se ha determinado antes de observar la muestra, no a posteriori.

Ejemplo

Ahora, exploraremos la relación entre las especies del género Iris (species) y el largo de su sépalo (Sepal.Length) de la base de datos Iris. Una es una variable categórica y la otra es una variable continua. Para tener una idea rápida de si uno afecta al otro, podemos mirar el diagrama de caja y en la cual asumiremos que cumplen con los criterios que deben cumplir para hacer un test paramétrico como lo vimos en nuestro anterior POST

# Cargamos las librerías necesarias
library(ggplot2)

# Filtramos la información, vamos a eliminar los datos de la especie I. virginica y observamos los datos
datos2 <- iris[iris$Species != "virginica",]
head(datos2)

##   Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
## 1          5.1         3.5          1.4         0.2  setosa
## 2          4.9         3.0          1.4         0.2  setosa
## 3          4.7         3.2          1.3         0.2  setosa
## 4          4.6         3.1          1.5         0.2  setosa
## 5          5.0         3.6          1.4         0.2  setosa
## 6          5.4         3.9          1.7         0.4  setosa

# Recuerda que la base Iris está por defecto en un computadora 
ggplot(datos2, aes(x = Species, y = Sepal.Length)) + 
  geom_boxplot() + 
  labs(x = "Especies", 
       y = "Largo del sépalo")+
  theme_bw()

Ahora calculemos el p valor a partir del estadístico t student. R tiene una función integrada que permite realizar t-test para una o dos muestras, tanto con corrección (en caso de que las varianzas no sean iguales) como sin ella. Esta función devuelve tanto el p-value del test como el intervalo de confianza para la verdadera diferencia de medias.

# Filtramos la información para realizar el test
x <- iris[iris$Species == "setosa", ]$Sepal.Length
y <- iris[iris$Species == "versicolor", ]$Sepal.Length

t.test(x, 
       y, 
       paired = FALSE, 
       alternative = "two.sided", 
       var.equal = FALSE)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  x and y
## t = -10.521, df = 86.538, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.1057074 -0.7542926
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##     5.006     5.936

Como podemos observar en los resultados anteriores, el valor de p es 2.2¹⁶ es significativamente más bajo que nuestro umbral del 5%. Por tanto, podemos rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa.

Según la hipótesis alternativa, los valores de Sepal.Length para varias especies son estadísticamente diferentes entre sí, es decir, los valores están claramente separados entre las diferentes clases de especies.

Test T de student para dos muestras de medias poblacionales dependientes (pareadas)

Dos medias son dependientes o pareadas cuando proceden de grupos o muestras dependientes, esto es, cuando existe una relación entre las observaciones de las muestras. Este escenario ocurre a menudo cuando los resultados se generan a partir de los mismos individuos bajo condiciones distintas.

Las pruebas pareadas tienen la ventaja frente a los independientes de que se puede controlar mejor la variación no sistematica, ya que se bloquean al estar examinando los mismos individuos dos veces, no dos grupos de individuos distintos.

Veamos un ejemplo, donde el programa de biología ha decidido contratar a un nuevo profesor para un grupo de estudio. Para decidir si al cabo de un año mantienen su contrato se selecciona aleatoriamente a 10 estudiantes y se resgistran sus avances en el proyecto (0 a 5, donde 5 es la mayor nota) al inicio del año, al final del año se volverá a registrar esos mismos 10 estudiantes. En vista de los datos obtenidos ¿Hay diferencia significativa entre el rendimiento de los estudiantes tras un año de estudiar con el nuevo profesor?

# Creamos las variables deseadas
notas <- data.frame(
          estudiante = c(1:10),
          antes = c(2.9, 3.5, 2.8, 4.5, 3.7, 2.9, 2.6, 3.5, 4.4, 1.3),
          despues = c(2.7, 3.6, 2.0, 4.2, 3.6, 2.0, 2.0, 3.5, 4.6, 1.1)
        )
head(notas)

##   estudiante antes despues
## 1          1   2.9     2.7
## 2          2   3.5     3.6
## 3          3   2.8     2.0
## 4          4   4.5     4.2
## 5          5   3.7     3.6
## 6          6   2.9     2.0

Al tratarse de datos pareados, interesa conocer la diferencia en cada par de observaciones, al igual que otros ejemplos asumiremos el cumplimiento de los supuestos par pruebas paramétricas.

R contiene la función t.test() que realiza un test con datos pareados si se le indica en el argumento. R calcula automáticamente las diferencias para cada evento, asumiendo que se las posiciones de cada vector se corresponden a los datos de un mismo individuo. Está función calcula además el intervalo de confianza para la diferencia de medias.

t.test(x = notas$antes, 
       y = notas$despues, 
       alternative = "two.sided",
       mu = 0, 
       paired = TRUE, # Datos pareados
       conf.level = 0.95)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  notas$antes and notas$despues
## t = 2.3702, df = 9, p-value = 0.0419
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.01276315 0.54723685
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                    0.28

Como el p-value > α, no hay evidencias estadísticas significativas para rechazar H0 en favor de HA. Por lo tanto, no se pude considerar que el rendimiento de los estudiantes haya cambiado, al parecer este profe no conservará su puesto.

Test T de Student para dos muestras independientes con varianzas no homogéneas

Para este ejemplo vamos a suponer que nuestros datos anteriores son muestras normales pero no tienen varianzas iguales. Por ello, procederemos a realizar el test de Welch. Los siguientes vectores muestran los puntajes de los exámenes de los estudiantes de cada grupo

booklet <- c(90, 85, 88, 89, 94, 91, 79, 83, 87, 88, 91, 90)
no_booklet <- c(67, 90, 71, 95, 88, 83, 72, 66, 75, 86, 93, 84)

t.test(booklet, 
       no_booklet)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  booklet and no_booklet
## t = 2.2361, df = 14.354, p-value = 0.04171
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   0.3048395 13.8618272
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  87.91667  80.83333

De nuestros resultados podemos ver que el estadístico de prueba t es 2.2361 y el valor p correspondiente es 0.04171.

Dado que este valor p es menor que .05, podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que existe una diferencia estadísticamente significativa en las puntuaciones medias de los exámenes entre los dos grupos.